Huvudlärobok är
Mål för utbildningen
Kursen syftar till en djupare
förståelse för den diskreta Fouriertransformen, utvecklingar i
ortogonala baser, liksom för andra transformer, såsom Radontransformen
och olika wavelettransformer. Laborationerna syftar till förtrogenhet
med alla beräkningarsmässiga aspekter hos dessa transformer.
Kursens innehåll
Den snabba Fouriertransformen.
Wavelets och utveckling i olika baser av waveletfunktioner. De
klassiska ortogonala funktionssystem som är förknippade med namnen
Hermite, Legendre, Jacobi, Tjebysjov, Bessel och
Hankel. Radontransformen.
Övningar
Två övningslappar finns här som DVI-filer och
PS-filer. Vidare har jag lagt in de två första tentorna med korta
anvisningar om hur man kan lösa uppgifterna. DVI-filer: Blad 1, Blad
2, Tenta 2000 05 22, Tenta 2000 06 08; PS-filer: Blad 1 och Blad
2, Tenta 2000 05 22, Tenta 2000 06 08.
Ordlista
Jag har gjort en ordlista till kursen med
några av de termer som förekommer. Den finns som DVI-fil, PS-fil
och PDF-fil. De svenska och engelska
termerna utgör en obligatorisk del av kursen. Övriga språk är
frivilliga.
Formelsamling
Jag har även sammanställt en formelsamling,
som ger en snabb översikt av kursen. Den finns här som DVI-fil och PS-fil. Formelsamlingen får användas
under tentamen (även före tentamen).
Här nedan står det T för föreläsningar (32 timmar, Christer) och t för laborationer (14 timmar, Henrik). Vi har träffats följande dagar.
T1, 20 mars: Lagring av fingeravtryck. Representation av signaler med hjälp av Fourierserier och wavelettransformer. Kroppar, konvergenta följder och serier. Repetition av lineär algebra. Vektorrum över R och C.
T2, 22 mars: Lineära avbildningar. Baser. Representation av avbildningar medelst matriser. Egenvärden. Egenrum. Egenvektorer. Geometrisk multiplicitet hos ett egenvärde. Matriser utan reella egenvärden. Matriser med små egenrum.
T3, 23 mars: Algebraisk multiplicitet hos ett egenvärde. Jordans normalform. Inre produkter. Ortogonala baser. Unitära matriser. Kvotrummet Z_N = Z/NZ, den cykliska gruppen av ordning N.
T4, 28 mars: Faltningsalgebran på Z_N. Faltningsoperatorer karaktäriseras som translationsinvarianta lineära operatorer. Den diskreta Fouriertransformen. Fouriertransformen av en faltning är produkten av faktorernas Fouriertransformer. Fouriers inversionsformel. Parsevals relation och Plancherels formel.
T5, 4 april: Exempel på Fouriertransformer. Karaktärisering av translationsinvarianta lineära operatorer medelst Fouriertransformen. Diagonalisering av cirkulanta matriser. När är svängningarna snabbast?
T6, 7 april: Den snabba Fouriertransformen då N är en potens av 2.
t1, 10 april: Henrik diskuterar implementationer av den snabba Fouriertransformen, även då N inte är en potens av 2.
T7, 10 april: Första steget mot fraktala baser. Systemmatrisen A(n) för två vektorer u och v. Första etappens Haarbas. Första etappens Shannonbas.
t2, 13 april: Henrik handleder den första laborationen, som handlar om den snabba Fouriertransformen.
T8, 14 april: Den modifierade Shannonbasen. Upplösning av signaler: den analyserande svarta lådan.
T9, 25 april: Den syntetiserande svarta lådan. Perfekt rekonstruktion av signaler genom en analyserande och en syntetiserande svart låda. Wavelet-filterföljder på stadium p. Wavelets. Haarbasen.
t3, 27 april: Henrik talade om snabba trigonometriska transformer, till exempel den diskreta sinustransformen, och hur dessa kan användas för att konstruera snabba ekvationssystemslösare. I den andra inlämningsuppgiften skall en sådan lösare implementeras i MatLab.
t4, 27 april: Henrik handleder den andra laborationen.
T10, 28 april: Shannonbasen; den modifierade Shannonbasen. Daubechies' bas D6. Jämförelse mellan olika baser: euklidisk, Fourier, Shannon, D6; vilken ger bästa resultatet vid kompression? Rummet l1(Z) av alla summabla följder och rummet l2(Z) av alla kvadratsummabla följder på heltalen. Faltning av sådana följder.
T11, 2 maj: Faltning av följder. Olikheter i lp-norm för faltningar. Fouriertransformationen från l2(Z) till L2([-pi,pi[) och dess invers. Translationsinvarianta operatorer och deras representation.
t5, 3 maj: Henrik presenterar filterbanker och endimensionella transformer, där man kastar bort en del information och sedan ser hur mycket man förlorar i kvalitet.
T12, 4 maj: Wavelet-baser på Z. Haar-basen på Z. Daubechies' bas D6.
t6, 4 maj:
T13, 5 maj: Fouriertransformationen på reella axeln. Wavelet-baser på den reella axeln.
T14, 8 maj: Mer om wavelets på reella axeln. Ortogonala polynom: Legendrepolynomen.
t7, 8 maj:
T15, 16 maj: Ortogonala polynom (fortsättning): Legendre-, Hermite-, Laguerre- och Tjebysjovpolynomen. I vart och ett av dessa fall: definition, induktionsformler, genererande funktion och differentialekvationer som polynomen uppfyller.
T16, 17 maj: Jacobipolynomen. Radontransformationen.
22 maj: Tenta. Tentamensresultaten sändes ut den 28 maj. Av sexton skrivande blev tolv godkända, de flesta med mycket fina resultat. (Dock är ännu inte alla labbar klara.) Tentan med svar och korta anvisningar om hur man kan lösa uppgifterna finns tillgänglig som DVI-fil och PS-fil.
8 juni: Omtenta. Tentamensresultaten sändes ut samma dag. Av sex skrivande blev alla godkända. (Dock är ännu inte alla labbar klara.) Tentan med svar och korta anvisningar om hur man kan lösa uppgifterna finns tillgänglig som DVI-fil och PS-fil.
23 augusti: Omtenta. Två gick upp och klarade sig fint.
Christer