Är du extra intresserad av matematik? Så intresserad att du tror att du kan klara av mer än de vanliga kurserna under din andra studietermin? Vill du dessutom veta hur forskning inom de matematiska ämnena går till? Det handlar då inte bara om det som man vanligen kallar matematik, utan även om matematisk logik, matematisk statistik, datoriserad bildbehandling och beräkningsvetenskap, speciellt numerisk analys. I så fall är kanske denna kurs något för dig. Den är ett slags fortsättning på Specialkurs i matematik NV1, som gick under hösten 2004. Man kan dock följa kursen NV2 utan att ha gått NV1.
Syften
Kursen har fyra syften:
*
för det första att ge studenterna tillfälle att genom självstudier och
föreläsningar inhämta fördjupade kunskaper i matematik i anslutning
till den andra terminens studier, dvs. i bl.a. matematisk analys i
flera variabler och lineär algebra men även inom helt andra
forskningsområden av de matematiska vetenskaperna;
*
för det andra att deltagarna får möjlighet att samverka med aktiva
forskare inom de matematiska vetenskaperna och därigenom förvärva
kännedom om forskningsprocessen och om samhälleliga aspekter av
matematisk forskning;
*
för det tredje att studenterna får möjlighet att förbättra sin muntliga
och skriftliga framställningskonst genom att hålla föredrag och skriva
uppsatser om matematiska ämnen;
*
för det fjärde att kursdeltagarna genom kritisk och värderande
diskussion ökar sin medvetenhet om matematikens ställning inom
utbildning, forskning och samhället i stort.
Denna kurs ersätter inte någon annan. Den är ett supplement till annan undervisning och ger fem extra poäng. Meningen är att du skall läsa de vanliga kurserna och följa deras undervisning. Men du får genom denna kurs något extra. Du får möjlighet till fördjupade kunskaper och du får tillfälle att träffa forskare och lära dig om forskningsprocessen — inblickar som du kommer att ha glädje av i dina fortsatta studier.
Första mötet ägde rum 2005-01-31 15:15.
Följande möten ägde (med något undantag) rum varje torsdag klockan 15:15–17:00 i sal 2144.
Behörighet
Kursen är avsedd
för dem som läser andra terminen på Naturvetarprogrammet, fristående
kurs något civilingenjörsprogram eller högskoleingenjörsprogram. Det
är dock möjligt att följa den även under den första studieterminen.
Anmälan
Om du vill vara med
så skall du skriva till mig (kiselman@math.uu.se).
Examinationsform
Muntlig
och skriftlig redovisning av uppgifter som delas ut under kursens
gång.
Kursplan
Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden har fastställt en kursplan. Kursens kod är 1MA176.
1. 2005-01-31. En diskussion om matematikens språk. Matematik kan uttryckas med ord eller med formler. Är det matematiska formelspråket verkligen ett språk? Det matematiska sättet att uttrycka sig med ord är ganska annorlunda än vardagsspråket. Vilka är likheterna och vilka är skillnaderna? Alla deltagare förväntas bidraga till denna diskussion utifrån sina egna erfarenheter.
2. 2005-02-03. Diskussion om matematikens språk fortsätter. Deltagarna analyserar och kritiserar två texter om matematikens kultur: Kiselman (2005) och Göranzon (2005). Planering av kursen utgående från innehållsförteckningen i Engquist & Schmidt (2001) och en recension av fyra böcker: Ziegler (2005).
3. 2005-02-10. Diskussion om algoritmer och komplexitetsteori. Vad är en algoritm? Vilka egenskaper har den? Rekursiva funktioner och Turingmaskiner. Vad innebär det att NP är skilt från P? Hur skulle en dator som kan räkna med reella tal fungera? Diskussion om matematikens två språk utgående från artiklar av Lennerstad & Mouwitz (2004) och Bergsten (1999). Diskussion om matematikens kultur utgående från Kiselman (2005) och Göranzon (2005).
4. 2005-02-17. Finns det något fel på differential- och
integralkalkylen? Exempel från envariabelanalys och
flervariabelanalys på fenomen som visar på brister och svårigheter som
man gärna vill reparera eller överkomma.
1. Vad är
andraderivatan av funktionen V(x) = |x|? Den kan
inte vara en funktion.
2. Konstruktion av funktioner av två
variabler där DxDyf och
DyDxf är olika i origo.
3.
Laplaceekvationen och vågekvationen har mycket olika egenskaper när
man tar gränsvärdet av en följd av lösningar.
Distributionsteorin löser dessa problem genom att distributionerna
verkar på testfunktioner, suddiga punkter, i stället för på de
vanliga, skarpa punkterna. Andraderivatan av funktionen V kan
inte identifieras med en funktion. Den identifieras i stället med
funktionalen g |—> 2g''(0), två gånger Diracmåttet i origo,
dvs. en punktmassa om 2 kilogram i origo.
5. 2005-02-24. William Kolakoskis följd
12211212212211211221211212211211212212211...,
publicerad 1965 och
nu aktuell. Vad är dess n-te element? Är den periodisk? Den
första frågan är obesvarad; den andra lätt att besvara med nej.
Blocklängden hos ett ord. Konstruktion av en följd med en given blocklängd. Kolakoskis följd som en fixpunkt för blocklängdsfunktionen. Samband med digital geometri. Frågor: förekommer alla ändliga följder av ettor och tvåor i Kolakoskis följd? Existerar den asympotiska frekvensen hos siffran 1 och är den i så fall lika med en halv? (Frekvensen upp till det femtusende elementet är nära en halv.) Flera andra obesvarade frågor finns.
Diskussion av hash-funktioner och Bruce Schneiers meddelande på sin blogg 2005-02-18 att tre kinesiska kryptografer samma vecka har visat att SHA-1 inte är kollisionsfri, dvs. de har utvecklat en algoritm för att hitta kollisioner snabbare än med råstyrka. (SHA, Secure Hash Algorithm, publicerades 1993 av the National Security Agency. Den modifierades till SHA-1 år 1995 efter upptäckten av en svaghet hos SHA. SHA-1 är nu den mest använda hash-funktionen.)
Planering av kursens fortsättning.
6. 2005-03-03. Diskussion om aktuella ämnen, bl.a. isotoper i periodiska systemet, wavelets, tomografi. Inledning till distributionsteorin: distributioner som funktionaler på suddiga punkter (testfunktioner); distributionslösningar till ordinära differentialekvationer; lösningar till Laplaceekvationen och vågekvationen och deras konvergensegenskaper; Fouriertransformen av en distribution.
7. 2005-03-10. Presentation av Jan Danielsson: Fourieranalys, Fouriersyntes och wavelets. (Delvis enligt Robi Polikar, The Wavelet Tutorial (finns på väven).)
8. 2005-03-17. Nils Lenngren presenterar Gödelnumrering och Gödels sats om aritmetikens ofullständighet. Diskussion om kontinuumhypotesen och dess oberoende av de vanliga axiomen för mängdteorin (Zermelo–Fraenkels axiom).
9. 2005-03-22. Diskreta dynamiska system och Feigenbaums konstant. Mer om distributioner: en distribution kan multipliceras med en glatt funktion. Det finns en distribution u på R som löser ekvationen xu = 1, nämligen andraderivatan g'' av funktionen g(x) = x·log|x|. Detta leder till att distributioner i en variabel kan divideras med polynom. Men det är omöjligt att multiplicera distributioner om de vanliga räknereglerna skall upprätthållas: g''·(x·delta) = 0 medan (g''·x)·delta = delta.
10. 2005-04-07. Warwick Tucker berättar om diskreta dynamiska system, periodfördubbling och Feigenbaums konstant. Den upptäcktes av Mitchell J. Feigenbaum 1977 och dess existens bevisades av Oscar Lanford 1982, 1984. Den är 4,669201609102990... för den logistiska avbildningen.
Daniel Andersson berättar om intuitionismen och Brouwer–Heyting–Kolmogorovs tolkning av predikatkalkylen.
11. 2005-04-21. Daniel Andersson fortsätter sin redogörelse med Per Martin-Löfs intuitionistiska typteori. Föredraget grundar sig på intervjuer med Johan Granström.
Kort orientering om två konferenser i Frankrike: Discrete Geometry for Computer Imagery (DGCI) i Poitiers 2005-04-13–15 och International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM) i Paris 2005-04-18–20.
12. 2005-04-28. Nils Lenngren presenterar optimala realiseringar av metriker. Hans föredrag grundar sig på intervjuer med Alice Lesser.
13. 2005-05-02. Diskussion i anslutning till uppsatsen 'Matematikens två språk' (Kiselman manuskript).
Presentation av några resultat inom digital geometri och matematisk morfologi som lagts fram vid de två konferenserna Digital Geometry for Computer Imagery (DGCI, Poitiers 2005-04-13–15) och International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM, Paris 2005-04-18–20).
14. 2005-05-09. Orientering om fundamentallösningar till differentialekvationer och differensekvationer. Fundamentallösningar till Laplaceoperatorn i två och tre dimensioner och till vågekvationen i två dimensioner. Fundamentallösningar till den differensoperator i Z2 som motsvarar Laplaceoperatorn: en med logaritmisk tillväxt (ej känd explicit); en med stöd i en sektor (med kraftig tillväxt och häftiga oscillationer). Kiselmans metasats inom den diskreta kalkylen: en fundamentallösning som går att räkna ut lätt har dåliga egenskaper; en som har goda egenskaper går inte att räkna ut lätt. Generaliseringar av metasatsen?
15. 2005-05-26. Jan Danielsson presenterar sin uppsats Systemmodellering, som bygger på intervjuer med Yngve Selén. Diskussion om modellering.
16. 2005-05-30. Diskussion kring deltagarnas uppsatser, som nu är nästan färdiga.
Fördjupning i lineär algebra. Ekvivalenta matriser. Två matriser är ekvivalenta om och endast om de har samma rang. Similära matriser. Två matriser är similära om och endast om deras karakteristiska matriser är ekvivalenta som matrisvärda polynom (Kurosh 1962:376). Jordanceller. Jordans normalform.
17. 2005-06-02 15:15–17:00 i sal 2144. Warwick Tucker talar om kaotiska system.
Ole E. Barndorff-Nielsen; Richard D. Gill; Peter E. Jupp (2001). 'Quantum information.' I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 83–107.
Gunnar Berg (red.) (2005). Det matematiska kulturarvet. Dialoger, nr. 71–72.
Christer Bergsten (1999). 'From sense to symbol sense'. I: I. Schwank (red.), European research in mathematics education, vol II, 123–134.
J. Brian Conrey (2001). 'L-functions and random matrices.' I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 331–352.
Björn Engquist & Wilfried Schmidt (2001). Mathematics Unlimited—2001 and Beyond. Springer.
Oded Goldreich (2001). 'Computational complexity'. I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 507–524.
Bo Göranzon (2005). 'Den tredje kulturen'. I: Berg (2005), ss. 137–139; 141–142.
Christer Kiselman (2005). 'Kulturens kraft'. I: Berg (2005), ss. 71–74.
Christer Kiselman (manuskript). 'Matematikens två språk'. Underlag för ett föredrag vid workshopen Matematikens formelspråk 2005-03-18. 16 ss.
Neal Koblitz (2001). 'Cryptography'. I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 749–769.
A. G. Kurosh (1962). Kurs vyshej algebry. Moskva: FM.
Håkan Lennerstad (manuskript). 'Matematikens dubbelnatur — undflyende innehåll, självtillräckligt språk'. Kommer i Utbildning och demokrati 2005.
Håkan Lennerstad & Lars Mouwitz (2004). 'Mathematish—a tacit knowledge of mathematics'. I: C. Bergsten & B. Grevholm (red.), Mathematics and language. Proceedings of MADIF4, ss. 168–184.
Robert M. May (1976). 'Simple mathematical models with a very complicated dynamics'. Nature 261, 459–474.
Yiannis N. Moschovakis (2001). 'What is an algorithm'. I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 919–936.
Peter Schuster (2001). 'Mathematical challenges from molecular evolution.' I: Engquist & Schmidt (2001), ss. 1019–1038.
Günther M. Ziegler (2005). '...a small idea of what it is I do all day...: Introductions to Mathematics'. Book Review. Notices of the American Society, Vol. 52, Nr. 2, ss. 221–224.
Varmt välkommen!
Christer
Två studenter skriver: Genom din kunskap och ditt engagemang lyckas du förmedla passionen för matematik och öppna dörrar till matematikens värld. Din vilja att intressera andra för matematiken har smittat oss. Tack!